\subsection{第一型曲线积分}

	\begin{ti}
		设 $L$ 为曲线 $\begin{cases}
			x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9,\\
			x + y + z = 0,
		\end{cases}$ 则 $\int_{L} \bigl( 3x^{2} - y^{2} - z^{2} \bigr) \dd{s} = $\kuo.

		\fourch{$27\uppi$}{$18\uppi$}{$12\uppi$}{$6\uppi$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		计算 $I = \oint_{L} \ee^{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \dd{s}$，其中 $L$ 为由圆周 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 及直线 $y = x$ 和 $y = 0$ 在第一象限内所围成的区域的边界.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		求抛物柱面 $y = \sqrt{x}$ 被平面 $z = 0, z = y$ 和 $y = 1$ 所截部分的面积.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		\begin{enumerate}
			\item 求函数
			\[
				f(x,y) = \begin{cases}
					\frac{x^{2}y}{x^{2} + y^{2}}, & x^{2} + y^{2} \ne 0,\\
					0, & x^{2} + y^{2} = 0
				\end{cases}
			\]
			的二阶偏导数 $f_{xy}''(0,0)$;
			\item 问微分方程 $\bigl( y^{2} + 6x \bigr)y' - 2y = 0$ 的哪一个解 $y = y(x)$ 满足条件 $x|_{y = 1} = f_{xy}''(0,0)$;
			\item 求曲线积分 $\int_{L} f(x,y) \dd{s}$，其中 $L$ 为 $x^{2} + y^{2} = 1$ 位于第一象限的部分.
		\end{enumerate}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设曲线 $\varGamma: x = a \cos t, y = a \sin t, z = bt(0 \leq t \leq 2\uppi)$，则 $\int_{\varGamma} \bigl( x^{2} + y^{2} \bigr) \dd{s} = $\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设某曲线 $L$ 的线密度 $\mu = x^{2} + y^{2} + z^{2}$，其方程为
		\[
			x = \ee^{t} \cos t, y = \ee^{t} \sin t, z = \sqrt{2} \ee^{t}, - \infty < t \leq 0.
		\]
		\begin{enumerate}
			\item 求曲线 $L$ 的弧长 $l$;
			\item 求曲线 $L$ 对 $z$ 轴的转动惯量 $J$;
			\item 求曲线 $L$ 对位于原点处质量为 $m$ 的质点的引力($k$ 为引力常数).
		\end{enumerate}
	\end{ti}